圏論(初心者向け) by alg-d

https://www.youtube.com/playlist?list=PLeBc8K3RvbSyoSx4NURPQPBsoPMJAr7Tm

第0章　圏論入門

https://www.youtube.com/watch?v=3GIuBNhXzew

モチベーション

https://gyazo.com/0150531f954a9f490c0441b710e2a967

https://gyazo.com/92a68d327791418ded965bb58161a844

なにかの数学の性質を調べるときに、なにか別のものを調べればわかることがある

位相空間が同型（同相）　→　基本群が同型

https://scrapbox.io/files/68eb5323847e88f0576e9379.png

他にも便利な点

普遍性

集合の中で別の集合を作るように、圏Cのなかで別のものを作れる

https://gyazo.com/dfb1c311e28cfd4efbe086799c7a0b45

最大公約数と最小公倍数ってなんか逆っぽい

それを普遍性を使って説明できる

すべての圏の集まりの圏...

なんでもできる

https://www.youtube.com/watch?v=8_ZlXqskz6w

空間と関数が実質同じであることを、圏で定式化できる

コンパクトHausdorff空間

単位的果敢C^*環

https://gyazo.com/b1cce3cfa1c9856f20534bd808cfd324

コンパクトHausdorffでないものは？

対応する環がかわる

いろいろある

環を変えたら？

単位的可換環、有理整数環→代数幾何

非可換だと？→非可換幾何

例

群の圏から集合の圏への関手

https://gyazo.com/1862936a593eb0f1d983ab72f9d5e586

集合の圏から集合の圏

対象：部分集合にうつす

射：F(f) (A) := f(A) = {f(a) | a \in A}

https://gyazo.com/6884370e7bdea3030f4f0c03869b7ecd

関手があると同型を判定できる

同型射

定義.

C を圏，a, b ∈ C を対象とする．

⇐⇒ ある射 g : b → a が存在して g ◦ f = ida，f ◦ g = idb となる．

(2) a と b が同型 (a ∼= b で表す) ⇐⇒ ある同型射 f : a → b が存在する．

例

Setではfが同型射

⇐⇒ あるg : Y →Xで g f = idx, f g = id_y

⇐⇒ f: 全単射

例

Grp: 群の圏

⇐⇒ Grpでの同型　←→　群同型

例

Top: 位相空間の圏

Topでの同型　←→　同相

圏Cにおける同型とは、普通の数学によく出てくる「同型」の一般化

定理

命題 8.

C, D を圏，F : C → D を関手とする．

このとき f : a → b が C の同型射ならば，

F(f): F(a) → F(b) も D の同型射である

(特に F(f)^−1 = F(f^−1) となる)．

系

従ってa ∼= b ならば F(a) ∼= F(b) である．

opposite

https://gyazo.com/d12a0560db7e16b5f65f9626a98f1632

comとcodを逆にしたものを考える

https://gyazo.com/80081a5ce17cbf0c513cc94ae051f6a5

確認するとわかるが、これも圏になる

反転圏

opposite

https://gyazo.com/b7ef4a6b45f380547d39552fd932df0c

圏の例：順序集合

https://gyazo.com/7eec7ce88c0a88721787f82cb72765cc

自然数

https://gyazo.com/5851fe231f3e079b0a60c353b3932ba5

実数

https://gyazo.com/a48faa79a7c40523e3b6faee956365e2

集合Aに対して、冪集合と包含関係

https://gyazo.com/57b65a189a90083eb11f8ac2f0aa6433

反変関手

https://youtu.be/zWrAR5_vKSg?list=PLeBc8K3RvbSyoSx4NURPQPBsoPMJAr7Tm&t=220

https://gyazo.com/f35eb4d551d8948779c0caa148818de2

https://gyazo.com/301530c1ddc85edd6666f0bcf2b9aa4e

https://gyazo.com/f6949686f66300e9505656da7ef4b356

https://gyazo.com/55a35d61c5da13c66118ba652d539a65

https://gyazo.com/a889ae3505791bbbf5651e316ec1dcdf

https://gyazo.com/9362384aab23ccef7f8e314e90c09162

Hom集合、 Hom関手

https://gyazo.com/552120d0b02358fab6f3d4c629236a2b

https://gyazo.com/e6cfdd4fd0fd06b6557023b9d50748a6

https://gyazo.com/328025acff35cd3d2e9cdd16627f4db5

https://gyazo.com/0dfc6e4c3600d81327fd6fff0f49de4a

Homは集合になるとは限らない

集合論では、物を集めたからといって集合になるとは限らない

圏論では、対象や射はなんでもいいので、集合になるとは限らない

しかし、Hom集合と呼ぶ

大抵の場合これは常に集合になるという仮定をしている

ならない例: 関手圏

こういう圏を

locally smallな圏, 局所小圏

smallってのは集合になってるという意味

Cの射のあつまりが集合になる圏Cを小さい圏、小圏と呼ぶ

初心者はあんまり気にしないで良い

Hom関手

https://gyazo.com/57aa2f373334ef13d6a02ce6f06a9c35

https://gyazo.com/7653f5353ca419fef0ad33a547105595

https://gyazo.com/96bb1b4a2637732a9cad66a58f777b38

https://gyazo.com/4af69973b951543a54e63d34273ee265

このFが関手になっている

ハイフンが対象を代入する意味合いなので、射も代入する記法にも使う

F(f)はk→f . kなので、

手前の一個目のほうも変数にできる

反変関手になる

https://gyazo.com/9ef9c98562248e62ed9d5f881753d937

https://gyazo.com/c03971a3681253e15ced48629cb4b67f

関手の忠実・充満